积分上限一定要大于下限吗（从命题人的一段话来谈对坐标的曲线积分计算）

• 命题人的一段话，分析平面坐标对坐标曲线积分的常见考点
• 定义与性质（与路径方向有关）
• 计算方法4种：直接参数法，格林公式法，补线用格林与换线或挖洞用格林，与路径无关；以及方法如何进行选择；
• 典型条件剖析与证明题思路

第一部分

第二部分

第三部分

第四部分

第五部分

• 请仔细体会这个命题过程解析，提供了6个考察方向，5种计算方法，真题一般包含了3-5个知识点的综合；在此从这6个角度，为了简洁省时间不做盈利，就直接结合市面上的一些资料拍照截图来进行梳理复习一下，表示对他们的辛苦表示感谢，无意侵权，本文纯属无聊作品，仅供参考；

0.定义与性质

方法综述：

题外话：做曲线，曲面积分的时候，一些习惯： 1.首先可以看能否讲曲线，曲面方程代入被积分函数； 2.其次看看能否用对称性等来简化计算（第二类其实是投影的正负关系）； 注意二重，三重积分不可代，因为他们不只是在边界上积分；法1：参数化定积分法(参数，2特殊)；

要点：“一代：，"二换”，“三定限”。 变量参数化，计算定积分，下限为起点，上限为终点，并非大和小； 前提是：容易找参数式，且积分相对容易算

参数化定积分法

• 具体应用过程，可结合教材，资料或者网上其他老师授课视频理解掌握，例如四川大学徐小湛高数，或者中国mooc网各种学校授课视频，例如合肥工业大学，以及考研有关视频均可，在此不文字赘述了，我仅作梳理。

命题人的命题角度-01

例题1

例题2

思考：能不能一招鲜，吃遍天，格林到底呢？

格林公式

注解

命题考法角度-2

• 格林公式的程序；

格林公式的解题程序

• 使用定理和结论前，千万要搞清楚适用范围，前提条件是什么！！！在此格林公式请注意条件 偏导连续的这个条件→有时候暗示你挖洞，换线，或分类讨论；这里就解答了什么时候需要补线，什么时候是挖洞用格林公式。

见下文例题46

补线用格林

例题

例题2

• 1987年 考题解析，法一：格林公式；法二：参数直接法

例题解析

• 以下文字继续摘自前命题剖析话语，分别是 补线用格林公式，和 挖洞或换条线用格林公式

命题人考法角度-03

• 99年考题 补线用格林公式；

真题解析

• 2000年考题

注意此处的细节，R>1,R<1，常见的思想，“格林公式的偏导数要连续的条件”

2000年考题

例题摘自李王复习全书，应该是武忠祥老师修改的这部分； 注意体会分析和评注，以及理解结论

典型例题

格林公式的条件

解答

• 由上面例题的到下面两个重要结论：

经典结论

• 练习题：2020数一考题，其实就是2000题翻新，会了上面例题，这个题 我想你就会了。

2020年还是考了很多典型考题

命题人考题角度-04

知识体系

求原函数的方法

• 与路径无关：走折线，先横后竖；或者先竖后横着，前者先dy=0,后者先dx=0，dC(常数）=0

例题1

• 与路径无关：原函数法

改路径

原函数法

结构

第一套程序：
0，先看是否可代入方程，或者对称性；
1.第一步:先看封闭与否；
①封闭→格林公式，亦可直接法

[特殊的封闭且与路径无关，则积分值为0；封闭但含奇点，挖洞或者定理5换线用格林}
②不封闭→进入第二步
2.第二步:再看是否与路径无关，计算偏导数əp/əy=əQ/əx，判相等?；
①若偏导相等，与路径无关，則
(a) 改换路径，走折线
(b) 原函数法
-凑微分，观察法；积分还原法；反过来利用与路径无关来求；
②若偏导不等，与路径无关，則
(a)若直接法简单，就直接法，否则补线用格林
(b)补线用格林

典型的构思
1.一分为二的细节 R<1 R＞1，是否含奇点和不含奇点（格林公式的前提条件）
2.证与路径无关的构思
3.那个典型的图
4.记几个典型的例题在心中

• 第二套选择流程；

命题角度6

题外话：关于求f(X)，经过分析研究数二对于这个设问法属于绝对的高频；看我过去的分析

此前文档给数二反复强调过，要自己去总结常见的求f(x)的考法，不同条件不同的方法，不过考题条件设置类型有限；可以参考陈文灯先生的《复习指南》该部分作为补充，会有所帮助的；

除了个别中学玩法，2020数二考题外，求f(x)得主体方向利用已知条件，建立起等式，经过化简整理，求导等手段，化为积分或者微分问题。

在本章求表达式的主要构思，就是利用与路径无关的命题，偏导等式来求解；

典型构思

前文答案

一定要识别出这个意图

与路径无关

• 分析一个经典的考题

• 命题人在此好心，设置了第一问为第二问提供了台阶，第一问证明了积分值为0，进而单连通区域得到与路径无关，从而得到 ：上文所述的偏导相等，进而求解；若擦掉了第一问也要想到；

1.假设没有第一问，直接看第二问，求表达式，再看条件，给的曲线积分，在此我们就应该要知道本章求表达式的主要构思就是利用前文所述：”与路径无关的那个偏导等式条件“，由此我们就要想办法说明“偏导等式“成立的原由→单区域，只要说明与路径无关即可；

2.而证明与路径无关的步骤： a.先考虑利用偏导等式； b.再考虑用原函数； c.再考虑：证明D内任一光滑闭区域曲线L的积分值为0.

本题由于被积函数含抽象函数，故无法利用偏导等式和原函数来说明，故只能考虑证：”D内任一光滑闭区域曲线L的积分值为0.“进而其实也会想到与第一问（1）类似的方向，但是本题命题好心了，直接给我们做了铺垫了。

在此请认真体会本题关于第一问的证明，以及这个典型的条件的解读：

求出表达式之后本题还可以继续设置请求出 这个常数A

请体会关键手法：大圆连接不含奇点的小圆，2条绕原点作差；（经典） 典型条件解读：记住这个图以及记住这个证法；

请认真体会下面证明方法

01

02

03

例题2

摘自李王《复习全书》

• 练习题：你知道思路了吗？

先证原点外区域与路径无关，再偏导相等

本期内容就到此停笔了，就先带大家一起复习这些内容，我们下期再见；